Обычно для выдачи денег под отчет сотрудник пишет заявление. Нужно ли оно, если у сотрудника бизнес-карта?

Нет. Деньги, полученные со счета карты, считаются выданными сотруднику под отчет без заявления. При этом он все равно должен отчитаться обо всех расходах по карте.